Докибернетическая эпоха, проблема Гильберта

Из воспоминаний В.М.Глушкова

... Мое внимание привлек мировой математический конгресс 1900 года, где знаменитый немецкий математик Гильберт поставил 23 проблемы тогдашней математики, наиболее крупные и сложные. Лишь недавно были решены некоторые из них. Решение каждой проблемы Гильберта становится сенсацией в науке. Мне хотелось разработать малоизученную область в математике, и я занялся одной очень трудной проблемой из теории топологических групп, связанной с пятой проблемой Гильберта.

В это же время состоялось мое знакомство с академиком Анатолием Ивановичем Мальцевым, работавшим тогда в Иванове. Он был математиком высочайшего класса и занимался заинтересовавшей меня областью — теорией групп и теорией линейных неравенств. Я стал посылать ему свои статьи, мы переписывались до самой его смерти (в Новосибирске). Так, с 1951 года я начал заниматься практически новой областью. Входить надо было в теорию топологических пространств (это довольно сложная область).

Я продолжал работать в Лесотехническом институте, читал лекции. Нередко ловил себя на том, что выписываю интеграл на доске, а в голове в этот момент мелькают мысли об этой теореме. Я понимал, что если прекратить этот штурм, то потом очень много времени потратишь на восстановление уже достигнутого. Над пятой проблемой Гильберта работали также американцы. Я рассмотрел один частный случай, а потом А. И. Мальцев решил одну частную задачу. Затем я рассмотрел еще один более общий, но также частный случай. Эти работы, включая мои предыдущие по нильпотентным группам, могли составить предмет докторской диссертации. Но к этому времени теория топологии стала более общей и была сформулирована обобщенная проблема Гильберта. Так вот, я решил ее, т. е. сделал больше, чем американцы. Причем решил более простым методом, который лучше подходит и для исследования обычной проблемы Гильберта.

Над основной теоремой по обобщенной пятой проблеме я бился три года подряд. Подсознание работало, даже когда я спал. Иногда ночью казалось, что все получилось. А утром вставал, садился за стол, смотрю — нет, где-то какая-то зацепка есть, логическая неувязка, ошибка. Трехгодичный непрерывный штурм закончился в 1955 году. Я с женой поехал на Кавказ в туристический поход. На Казбеке при подъеме на ледник мне пришла в голову идея, позволяющая обосновать решение обобщенной проблемы Гильберта. Однако я приучил себя к тому, что в моих рассуждениях обязательно есть ошибка и не сразу поверил себе. Начал искать ее, но все не получается. Потом вдруг вроде нашел ошибку, но нет — снова не получается. В поезде все записал, а потом еще шесть месяцев дорабатывал. Получилось страниц 60. Причем это было всего лишь доказательство одной теоремы.

Пока еще никому в мире не удалось дать более короткого доказательства. Эта работа принесла мне известность среди математиков.