Обчислювальна математика в Інституті кібернетики НАН України (1957-1982 рр.)

Бурхливий розвиток обчислювальної техніки у 50-60-х роках минулого століття наклав свій відбиток на обчислювальну математику, предметом якої є чисельні методи та питання їх обгрунтування. В ці роки обчислювальна математика набула свого розквіту. Поруч із своїми традиційними розділами, найважливішими серед яких були: обчислення значень функцій, обчислювальні методи лінійної алгебри, чисельне диференціювання та інтегрування, чисельне розв'язування диференціальних та інтегральних рівнянь, чисельні методи мінімізації функцій і функціоналів, почали розвиватись нові її розділи, такі, як теорія і чисельні методи розв'язування некоректних задач, лінійного та нелінійного математичного програмування, теорія систем обробки даних, відновлення функцій і функціоналів, методи оптимізації та ін. Кожному із названих розділів відповідають свої чисельні методи. Нарівні з ітераційними методами, що інтенсивно розвивались та ефективно застосовувались до розв'язування багатьох класів задач, особливо широкого розвитку в цей період набули різного роду апроксимаційні (дискретизаційні) методи, за допомогою яких вихідна (точна) задача замінюється, в певному розумінні, наближеною з наступним її точним або наближеним розв'язанням. До таких методів відносяться: скінчено-різницеві, проекційні, проекційно-ітераційні, варіаційні та ін. За допомогою цих методів апроксимаційні рівняння конструюються так, щоб їх розв'язування зводилось, як правило, до розгляду скінченої системи скалярних рівнянь.

Відомо, що якість та ефективність тих чи інших чисельних методів визначається певним набором їх характеристик, одні з яких властиві тільки чисельним методам певного класу (наприклад, початкове наближення і швидкість збіжності для ітераційних методів), а інші загальні характеристики властиві чисельним методам усіх класів. Прикладами таких характеристик є різного роду похибки чисельного методу, час його реалізації на ЕОМ та необхідна для цього пам'ять ЕОМ.

Теоретичні дослідження чисельних методів з метою забезпечення їх всілякими характеристиками у цей період вели численні групи математиків. Об'єктами дослідження були способи дискретизації континуальних математичних моделей, умови (які можна ефективно перевірити) можливого застосування того чи іншого методу, оцінки швидкості збіжності, апріорні та апостеріорні оцінки похибки, вибір початкових наближень та питання стійкості чисельних методів до похибок вхідних даних і заокруглення.

Глибокі наукові дослідження цих питань сприяли створенню на основі ідей функціонального аналізу загальної теорії наближених методів, а подальші дослідження характеристик точності, швидкодії та ін., їх порівняння для різних чисельних методів, привели до постановки задачі оптимізації останніх за точністю, швидкодією та іншими характеристиками. З'явились роботи В.М.Глушкова, В.С.Михалевича, А.М.Тихонова, О.А.Самарського, М.С.Бахвалова, І.В.Сергієнка, В.В.Воєводіна, В.В.Іванова, В.І.Лебедєва та багатьох інших учених, де розглядались теоретичні дослідження питань точності та ефективності чисельних методів і оптимізації обчислень на різних класах задач і чисельних методів.

Не менш важливою проблемою на даному етапі розвитку обчислювальної математики та техніки була проблема розробки й дослідження методів організації обчислювальних робіт на ЕОМ, а також оцінки ефективності складних систем, оскільки створювались міцні обчислювальні центри з ЕОМ різної потужності спеціального чи загального призначення з індивідуальним чи колективним способом користування.

Очевидно, що для ефективного використання можливостей таких центрів потрібно було належним чином організувати й оцінювати їх роботу. Теоретичні розробки з цих питань та їх практичні аспекти знайшли своє відображення в дослідженнях В.М.Глушкова.

В середині 60-х років з'явились перші підручники та монографії з обчислювальної математики, які увібрали в себе все, що було напрацьовано за минулий період [1-10].

На цей час для розв'язування типових задач обчислювальної математики було створено досить багато методів й актуальними стали питання щодо їх порівняльного аналізу (за деякими критеріями) та побудови ефективних (у тому числі й оптимальних) методів розв'язування цих задач. Результати цих досліджень повинні були знайти своє втілення у створюваному математичному забезпеченні серійних ЕОМ.

У цей період в ІК багатьма відділами велись інтенсивні дослідження в різних напрямках обчислювальної математики. Так, починаючи із 1963 року під керівництвом В.В. Іванова на таких класах задач як: лінійні та нелінійні інтегральні рівняння, некоректні задачі, апроксимація функцій, мінімізація функцій, цифрова обробка сигналів і т. д., проводились дослідження та оцінки усіх видів похибок разом з повною, що призвело до постановки задачі оптимізації за точністю обчислювальних алгоритмів та оптимізації обчислень в цілому. Надалі "Питання оптимізації обчислень" стали назвою усіх майбутніх наукових форумів з обчислювальної математики, які проводив Інститут.

У відділі І.М. Молчанова велись дослідження щодо наближеного розв'язування задач математичної фізики.

У відділі Ю.В. Благовіщенського домінувала тематика наближеного обчислення функцій.

Слід відмітити, що результати цих досліджень втілювались у створюване в цей період прикладне математичне забезпечення, яке в свою чергу підсилювало інтелект обчислювальної техніки.

Зважаючи на все це, постало питання про доведення до широкого загалу математичної спільноти отриманих результатів досліджень із наведених питань. Почали організовуватись і проводитись форуми із цих питань.

Весною 1968 року в Ужгороді проходила Республіканська конференція з обчислювальної математики. На одному із засідань було піднято питання про доцільність проведення більш широкого форуму з обчислювальної математики, де крім наукових доповідей була б надана можливість обговорити навчальні плани з цих питань. Була згенерована думка, що очолити ці заходи міг би Інститут кібернетики АН УРСР, у якого на той час був належний науковий потенціал і необхідна редакційно-видавнича база. Дирекція Інституту кібернетики АН УРСР на чолі із В.М. Глушковим погодилась з тим, щоб інститут був провідною організацією таких заходів, сформулювавши більш широко їх тематику та назву. В результаті 3 - 6 червня 1969 року в м. Києві за ініціативою Інститутів кібернетики і математики АН УРСР, Київського державного університету ім. Т.Г.Шевченка, та участю Київського будинку науково-технічної пропаганди і у відповідності з Постановою Президії АН УРСР був проведений Симпозіум "Питання точності і ефективності обчислювальних алгоритмів", на який з'їхалося понад 450 спеціалістів, в основному математиків-обчислювачів із Москви, Ленінграда, Києва, Новосибірська, Одеси, Свердловська, Ужгорода, Харкова, Донецька та багатьох інших міст Радянського Союзу. Праці симпозіуму були раніше опубліковані (6 томів за класами задач), що дозволило обмежитись на засіданнях заслуховуванням коротких повідомлень доповідей, а основний час був відведений на обговорення доповідей і дискусії з важливих проблем підвищення ефективності роз'язування науково-технічних задач на ЕОМ.

На заключному засіданні Симпозіуму одним із пунктів його Постанови було вважати за доцільне й надалі організовувати симпозіуми, конференції, школи, семінари з даної тематики. В 1969 році була проведена перша математична школа, а в 1971 - друга математична школа.

28 квітня 1971 року на другу математичну школу приїхав академік В.М.Глушков. Він прочитав лекцію на тему "Питання ефективності обчислювальних систем", в якій були розглянуті якісний та кількісний підходи аналізу ефективності обчислювальних систем, а також необхідні вимоги щодо обчислювальних систем четвертого і п'ятого поколінь. Лекція визвала у слухачів підвищений інтерес, про що свідчила велика кількість запитань, на які В.М.Глушков давав вичерпні відповіді.

Увечері того ж дня директор БТУ Єрмошин О.В. разом з Оргкомітетом школи організували в честь відкриття школи та приїзду В.М.Глушкова вечерю, на якій обговорювались перспективи подальшого розвитку тематики, організації наукових форумів.

На другий день, покупавшись в морі при температурі десь біля 12°, В.М.Глушков відбув до Києва. Це були його єдині відвідини наших виїзних шкіл. Незважаючи на те, що В.М.Глушков постійно цікавився тематикою оптимізації обчислень, сам в ній працював і мав вагомі результати, доповісти їх на наших школах, із-за постійної зайнятості, йому не судилося. Це робили його учні.

Подальший розвиток обчислювальної математики і створення ЕОМ нових поколінь зумовили постановку нових проблем стосовно паралельних та конвеєрних засобів обчислень. І тут вагомий внесок зробив В.М.Глушков. Разом із Ю.В.Капітоновою та О.А.Летічевським в 1979 році на XII Республіканській школі-семінарі вони виступили з пленарною доповіддю "Ефективність розв'язування задач на багатопроцесорних системах".

У цей же період В.М.Глушков опублікував фундаментальну роботу "Про новий клас динамічних моделей і їх застосування в економіці та біології".

Зокрема у відділі "Теорія обчислень" були проведені дослідження можливостей двопродуктової моделі для вивчення динаміки процесів в економіці і біології [11]. З цією метою була створена система програмних модулів для чисельної реалізації моделей, за допомогою якої можна розв'язати задачу побудови фазових траекторій прикладної моделі, а також вибрати із множини таких траекторій ту, що надає екстремального значення деякому функціоналу мети. Наприклад, за допомогою чисельного моделювання оптимізації розподілу робочих місць між галузями виробництв груп А і Б було досліджено (виявлено) особливості стратегії планування з метою оптимізації виробництва продуктів споживання [12-14].

В цілому у науковому плані із тематики, що домінувала в 70-80 роки на наукових форумах "Питання оптимізації обчислень" слід виділити напрями, які розвивав В.М.Глушков і які стосувались теоретичних і практичних основ системної оптимізації, методів їх розв'язання, оптимізації обчислень при моделюванні систем, що розвиваються, і паралельних обчислень в макроконвеєрному обчислювальному комплексі.

Викладемо інші задачі, розв'язання яких ініціював В.М. Глушков. З початку 60-х рокiв у Інституті одержанi нові наукові результати по створенню i теоретичному обгрунтуванню чисельних методiв розв'язування диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних, звичайних диференцiальних рiвнянь, задач лiнiйної алгебри, нелiнiйних рiвнянь i систем.

Побудовано та теоретично обгрунтовано різницеві та скінченноелементні дискретнi аналоги рівнянь та систем диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних елiптичного типу другого, четвертого та восьмого порядкiв для крайових та спектральних задач, а також для нелiнiйних рiвнянь елiптичного та параболiчного типiв другого порядку.

Розроблено швидкозбiжнi iтерацiйнi алгоритми розв'язування цих дискретних задач. Створено математичний апарат дослiдження збiжностi у рiвномiрнiй метрицi розв'язкiв дискретних крайових задач для рiвнянь елiптичного типу та задач на власнi значення. Одержано непокращувані оцінки похибок різницевих схем в рівномірній сітковій нормі для еліптичних диференціальних операторів другого і четвертого порядку, а також оцінки похибок різницевих схем в енергетичній нормі для узагальнених розв'язків крайових та спектральних задач для диференціальних операторів четвертого порядку зі змішаними крайовими умовами. Запропоновано та теоретично обгрунтовано нові скінченні елементи для дискретизації задач розрахунку на міцність тонких оболонок.

Запропоновано методи розв'язування обернених задач на власнi значення для звичайних диференцiальних рiвнянь другого та четвертого порядкiв. Розроблено методику побудови чисельних методiв iнтегрування задач з початковими умовами для систем звичайних диференцiальних рiвнянь з керованим кроком iнтегрування з метою забезпечення стiйкостi та точностi чисельного розв'язку на всьому iнтервалi iнтегрування, у тому числі для розв'язування систем алгебраїчно-диференцiальних рiвнянь, що не розв'язані відносно старших похідних.

Ці результати започаткували дослідження, які розвиваються і на даний час для інших класів задач в більш загальних постановках. Для умовно коректних еліптичних крайових задач побудовано та досліджено нові постановки, які сформульовані у вигляді коректних варіаційних задач. Створено методологію побудови та дослідження методами скінченних різниць і скінченних елементів дискретних аналогів умовно коректних еліптичних крайових задач. Дослiджено новi варiацiйнi постановки задач з неєдиним та розривним розв'язками.
З 1968 року виконуються дослiдження комп'ютерних методів розв'язування задач лінійної алгебри з наближено заданими вихідними даними.

Отримані оцінки збурень розв'язкiв систем лінійних рівнянь в залежностi вiд властивостей оператора i збурень вихiдних даних. Побудовано iтерацiйнi методи знаходження узагальненого розв'язку несумiсних алгебраїчних, у тому числi дискретних, задач, що виникають при дискретизацiї диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних.
Встановлено критерiї закiнчення iтерацiйних процесiв, при виконаннi яких гарантується дана точнiсть розв'язку.
На сучасному етапі ці дослідження продовжуються. Розвинена теорія збурень для матриць неповного рангу, який може змінюватись при збуренні коефіціентів матриці. Побудовані нові методи розв'язування некоректних задач для систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Встановлено оцінки повної похибки розвязків. Сформульовано критерії зупинки ітераційних процесів при неточно заданих вихідних даних. Досліджено властивості зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків з додатньо означеними та виродженими вагами. Створено теоретичні основи побудови методів обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Побудовано та досліджено ітераційні методи обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків з додатно означеними та виродженими вагами.

При розв'язуваннi прикладних задач часто виникає велика розбiжнiсть мiж результатами чисельних та натурних експериментiв, незважаючи на те, що машинна реалiзацiя відповідних математичних моделей та чисельних алгоритмів була проведена коректно. Аналiз ситуацiй показав, що не завжди розв'язки рiвнянь математичної моделi з наближеними вихiдними даними зберiгають фiзичний зміст. Встановлено, що для усунення такої розбіжності похибка вихiдних даних має бути узгоджена з властивостями оператора математичної задачi, що розв'язується. Для основних класiв задач обчислювальної математики знайдено та досліджено умови та області дії математичних моделей, де розв'язки математичних задач з наближеними вихiдними даними зберiгають фiзичний змiст прикладних задач.

Встановлено, що властивості математичної, дискретної та машинної моделей задач можуть відрізнятися між собою. Крім того, ряд науково-технічних задач можуть бути сформовані в комп'ютері. Тому виникає необхідність в створенні комп'ютерних методів математичного дослідження властивостей машинних моделей задач з наближено заданими вихідними даними.

Значним підгрунтям для реалізації ідеології машинного дослідження математичних властивостей машинних моделей задач та розв'язування задач з гарантованою похибкою стала розробка програмного забезпечення ЕОМ серiї МИР та "Дніпро-2".

Починаючи з 60-х років під керівництвом академіка В.М. Глушкова в нашій країні почали розвиватися роботи по створенню ЕОМ нових поколінь, серед яких важливим є напрямок пов'язаний з підвищенням рівня машинного інтелекту засобів обчислювальної математики, що розробляються. Цей напрямок тісно пов'язаний з появою ЕОМ серії МИР.

Високий рівень внутрішньої мови комп'ютеру, развинуті засоби діалогу з користувачем, развинута операційна система, ефективна система мікропрограмування, довільна динамічно змінна розрядність забезпечили ЕОМ серії МИР високий машинний інтелект. Операційна система цих машин давала можливість оперувати з цілими, дійсними та раціональними числами. Все це дозволило реалізувати на ЕОМ серії МИР бібліотеку програм для розв'язування задач чисельного аналізу, які забезпечували високу точність результатів таких розділів:

- інтерполяція функцій однієї та двох змінних;
- знаходження апроксимуючого поліному за методом найменших квадратів;
- чисельне диференціювання;
- чисельне інтегрування функцій;
- розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, методи обернення матриць;
- розв'язування повної та часткової проблем власних значень та знаходження власних векторів;
- розв'язування лінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь;
- розв'язування задачі Коші для систем лінійних та нелінійних звичайних диференціальних рівнянь;
- розв'язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь;
- розв'язування диференціальних рівнянь в частинних похідних;
- розв'язування лінійних інтегральних рівнянь;
- обчислення спеціальних функцій (циліндричні функції, ортогональні поліноми, функції параболічного типу і т. п.);
- методи одержання псевдовипадкових чисел с різними законами розподілу;
- найпростіші методи статистичної обробки результатів.

На ЕОМ серії МИР вперше було проведено дослідження та апробацію комп'ютерного апарату математичного дослідження машинних моделей задач обчислювальної математики, автоматичної побудови у відповідності з виявленими властивостями задачі алгоритму та програми розв'язування з автоматичним аналізом одержуваних комп'ютерних результатів.

На основі цього математичного апарату був створений пакет програм з лінійної алгебри, за допомогою якого розв'язування задач користувача проводилось в режимі безпосередньої взаємодії з комп'ютером. В діалозі з комп'ютером користувач міг вводити інформацію, змінювати розрядність, подавати до друку необхідну інформацію після розв'язування задачі.

Алгоритмічна мова програмування АНАЛИТИК, реалізована на ЕОМ МИР-2 і орієнтована на автоматизацію аналітичних перетворень, була першою мовою програмування, що мала справу не з лінійно упорядкованими записами алгоритмів, а з текстами, в яких лінійний порядок не є жорстким. Сполучення аналітичних методів з чисельними дало можливість описувати і подавати математичні моделі задач у формі, природній для даної предметної області, а одержання розв'язків в аналітичній формі, проводити якісний аналіз і оптимізацію (з побудовою графіків та таблиць).

На даний час символьні перетворення, які вперше зародилися і були реалізовані на ЕОМ МИР-2, ефективно використовуються практично скрізь при виконанні числово-аналітичних обчислень. Принципи, покладені в основу реалізації ЕОМ серії МИР і створення інтелектуального програмного забезпечення (1961-1981рр.), не тільки не втратили, але одержали новий розвиток в подальших розробках.

Реалізація ідеології машинного дослідження математичних властивостей задач та побудова на основі виявлених властивостей алгоритму, що забезпечує отримання достовірного розв'язку, привела до розробки бази знань з обчислювальної математики та на її основі iнтелектуальних пакетів програм для дослiдження i розв'язування систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (PACTSIST, APAC, LINSYST), алгебраїчної проблеми власних значень (SPAN, EIGSYST), систем нелiнiйних рiвнянь (ASNES, NILISYST), задач з початковими умовами для систем звичайних диференцiальних рiвнянь (PRODUCT, DIFSYST) на різні класи комп'ютерiв.

Починаючи з 1977 року розв'язувались задачi оптимiзацiї деяких елементiв конструкцiй. Задачі проектування дискiв турбомашин, панелей авiацiйних конструкцiй та iнші були сформульованi як задачі оптимального керування. Доведено iснування єдиних розв'язкiв як неперервних, так i дискретних задач. Встановлено збiжнiсть розв'язкiв дискретних задач до розв'язкiв неперервних задач. Побудовано методи розв'язування дискретних задач.

Гостра нестача обчислювальних ресурсів в 70-х роках сприяла розробці у всьому світі багатопроцесорних ЕОМ. В Інституті кібернетики в кінці 70-х років під керівництвом В.М. Глушкова була започаткована розробка багатопроцесорного обчислювального комплексу (МВК ЕС). В результаті на початку 80-х було створено MIMD-комп'ютери: мультипроцесор ЕС 2701 та МВК ЕС 1766.

Проведені дослідження показали, що для отримання бажаної швидкодії багатопроцесорних комп'ютерів, необхідна розробка методів, алгоритмів та програм, що враховують архітектуру та структуру ЕОМ з паралельною організацією обчислень.

Було створено алгоритми паралельних обчислень для розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь прямими та ітераційними методами з щільними та розрідженими матрицями, для розв'язування алгебраїчної проблеми власних значень, розв'язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь, чисельного розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь, розв'язування різницевих рівнянь, що апроксимують задачі для рівнянь еліптичного та параболічного типу, розв'язування деяких задач оптимізації та задач обтiкання, інтегральних рівнянь.

В подальшому на основі цих методів було розроблено пакет програм ПАМИМД для багатопроцесорного обчислювального комплексу ЕС 1766 та інтелектуальні програмні засоби для дослідження та розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, алгебраїчної проблеми власних значень, задач з початковими умовами для звичайних диференціальних рівнянь, нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь (LINPAR, EIGPAR, DIFPAR, NILIPAR) з реалізацією принципу скритого паралелізму, що забезпечує для користувача MIMD- комп'ютера такий же режим роботи, як і для традиційних однопроцесорних комп'ютерів.

Розробленi методи, алгоритми та програми у 70-80-х роках були використанi Центральним аерогiдродинамiчним iнститутом iм. М.Є.Жуковського, Центральним iнститутом авiацiйного моторобудування iм. П.І. Баранова, Центральним НДІ iм. О.М.Крилова, Союзним проектним бюро "Машпроект", НВО "Вимпел", НВО "Електроприлад", НВО "Радіоприлад", Науково-дослiдним центром електронної обчислювальної технiки, Всесоюзним НДІ експериментальної фiзики (Арзамас-16), Військово-повітряною інженерною академією ім. проф. М.Є. Жуковського та iн.

Розвиток отримали чисельні, чисельно-аналітичні та варіаційні методи обчислювальної математики. Зокрема, на нові класи задач (крайових, початково-крайових, спектральних) був адаптований метод Р-трансформацій (метод сумарних зображень), запропонований членом-кореспондентом НАНУ Г. М. Положієм. Вдосконалення цього методу відбулося за наступними напрямками:

1. Введення Р-трансформацій по третій координаті дозволило перейти на розв'язання просторових крайових задач, що було надзвичайно важливим для проблем екології, гідротехніки, меліорації, теорії пружності, механіки суцільного середовища.
2. Використовуючи умови Зомерфельда, вдалося побудувати нові формули Р-трансформацій для просторових нескінченних (напівнескінченних) областей.
3. Для рівнянь дивергенційного типу з змінними коефіцієнтами запропонована методика наближення цих коефіцієнтів з використанням циклічних функцій. Після такої заміни, наприклад, в рівнянні нерозривності, останнє трансформується до рівняння Гельмгольця з постійними коефіцієнтом, для розв'язку котрого методом Р-трансформацій можна виписати рішення в замкнутому вигляді. Запис розв'язків в явній чисельно-аналітичній формі з незначною кількістю невідомих параметрів, що обчислюються через крайові умови, дозволило формулювати і розв'язувати задачі оптимізації параметрів фізико-механічних полів і конструкцій об'єктів.
4. Комплексне використання методів Р-трансформацій, скінченних різниць, мажорантних областей, наближених конформних відображень (в різних комбінаціях) з обгрунтованими методиками зшивання розв'язків, дозволило досліджувати процеси в неканонічних неоднозв'язних неоднорідних областях, в тому числі з невідомою границею (задачі типу Стефана).

Отримали широкий розвиток методи чисельного розв'язання широкого класу задач, пов'язаних з моделюванням та оптимізацією розрахунків процесів гідроекології. В інституті кібернетики АН УРСР та Київському університеті ім. Т.Г. Шевченка активізувались дослідження, пов'язані з розробкою та впровадженням методів розв'язання задач масоперенесення, які мають велике значення в гідротехніці, меліорації, гідроекології та інших прикладних областях. Зокрема. методи математичного моделювання необхідні при вивченні складних фільтраційних ситуацій руху грунтових вод під гідроспорудами, через земляні греблі, при притоці до різного роду дренажів, котлованів, тощо. Аналогічних розрахунків потребує також дослідження задач міграції вологи і забруднення, прогнозу гідрохімічного режиму грунтів і грунтових вод, при зрошенні, промивках і осушенні земель.

Широке коло задач підземної гідромеханіки описується еліптичними та параболічними диференціальними рівняннями з частинними похідними в областях складної форми з крайовими умовами першого, другого роду, які характеризують проникливі і непроникливі ділянки границі області фільтрації. Коефіцієнт фільтрації може бути сталим, кусково-сталим або неперервною функцією координат.

Вибір методу сумарних зображень для реалізації дискретних задач геофільтрації пояснюється специфікою досліджуваного класу задач. зокрема, наявністю необмежених областей і необхідністю отримання розв'язку лише в деякій її частині.

Досліджено питання збіжності широкого класу різницевих схем у випадку нескінченних областей фільтрації. Встановлені на основі методу сумарних зображень нові апріорні оцінки дозволили оцінити збіжність дискретних задач в класі обмежених розв'язків. Отримані формули сумарних зображень застосовані для розв'язання широкого класу задач фільтрації в середовищах з коефіцієнтом фільтрації, неперервно залежним від однієї з просторових координат.

Широко в практичних задачах почали впроваджуватись методи p, g - аналітичних функцій і мажорантних областей та руху граничних точок. Особливу ефективність після модифікації та адаптації проявив останній варіаційно-топологічний метод, так як з його допомогою вдається рішення реальних задач в надскладних областях звести до розв'язання більш простих задач, або таких, розв'язки яких вже відомі. Отримувані при цьому верхня і нижня мажоранти не що інше, як оцінки зверху і знизу математичного розв'язку поставленої задачі.

Значні результати одержані в галузі наближення функцій, зокрема, рівномірного наближення нелінійними за параметрами сплайнами. Побудовані обчислювальні алгоритми для знаходження параметрів рівномірного наближення аналітично заданих і табличних функцій сплайнами. Показано їх використання для обчислення елементарних функцій на багатопроцесорних комплексах.

Значні об'єми обчислень при розв'язанні реальних задач на комп'ютері пов'язані з обрахунками елементарних функцій, що описуються відповідними рядами. Вибір методу розрахунку елементарних функцій тісно пов'язаний з параметрами процесору, критеріями ефективності і в значній мірі залежить від компетентності фахівців. Узагальненню результатів дослідження відомих методів обчислень, побудові спеціальних алгоритмів, найбільш ефективних при реалізації на конкретних комп'ютерах присвячені роботи Ю.В.Благовещенського, ним же отримані нові рекурентні співвідношення для обчислення деяких класів елементарних функцій, в тому числі в довільних системах числення.

В.К.Задирака

Література

1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированых пространствах. - М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.
2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: - М.: Физматгиз, 1962. - Т.1. - 324 с.; Т.2. - 620 с.
3. Приближённое решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайниккно, П.Н. Забрейко и др. - М.: Наука, 1969. - 455 с.
4. Глушков В.М. Введение в кибернетику. - Киев: Изд-во АН УССР, 1964. -323 с.
5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Физматгиз, 1960. - 659 с.
6. Бондаренко П.С. Дослідження обчислювальних алгоритмів наближеного інтегрування диференціальних рівнянь методом скінчених різниць. - К.: Вид-во Київ. ун-ту, 1962. - 244 с.
7. Математический практикум / Г.Н. Положий, Н.А. Пахарева, И.З. Степаненко и др. - М.: Физматгиз, 1960. - 512 с.
8. Воеводин В.В. Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры. - М.: ВЦ МГУ, 1969. - 154 с.
9. Фаддеев Д.Н., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Физматгиз, 1960. - 328 с.
10. Канторович Л.В., Крылов В.Н. Приближённые методы высшего анализа. - М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.
11. Моделирование развивающихся систем / В.М. Глушков, В.В. Иванов, В.М. Яненко - М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1983.
12. Глушков В.М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей. - Управляющие системы и машины, 1977, № 2, с. 3-6.
13. Глушков В.М., Иванов В.В. Моделирование оптимизации распределения рабочих мест между отраслями производства А и Б. - Кибернетика, 1977, № 6, с. 117-131.
14. Иванов В.В., Бесараб П.Н., Людвиченко В.А. О пакете программ для численной реализации двухпродуктовой модели развивающихся систем. - УС и М, 1981, № 5, с. 109-111.
15. Глушков В.М., Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. О наборе программ для решения систем линейных алгебраических уравнений на машинах серии МИР. "Кибернетика", 1968, N 6.
16. Глушков В.М., Молчанов И.Н, Стогний А.А., Никитин А.И. On one version of non-homogeneous multimachine complex (aims and application). Finnish-Soviet Symposium Espoo, Finland, 1974.
17. Глушков В.М., Молчанов И.Н, Погребинский С.Б., и др. Характеристики и область применения ЭВМ МИР-2. "Кибернетика", 1975.
18. Глушков В.М., Молчанов И.Н., Погребинский С.Б и др. О внешнем математическом обеспечении электронной вычислительной машины МИР-2. "Кибернетика", 1975.
19. Глушков В.М., Стогний А.А., Молчанов И.Н., Брусникин Б.Н. и др. Программное обеспечение ЭВМ МИР-1 И МИР-2. Программы. Том 1, 2. Наукова думка, Киев, 1976.
20. Глушков В.М., Стогний А.А., Молчанов И.Н., Брусникин Б.Н. и др. Программное обеспечение ЭВМ МИР-1 и МИР-2. Программы для ЭВМ МИР-2. Том 3. Наукова думка, Киев, 1976.
21. Глушков В.М., Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. О выборе длины конечных элементов повышенного порядка точности для решения задач теории упругости. "Управляющие системы и машины", 1981, № 3.
22. Глушков В.М., Молчанов И.Н. О некоторых проблемах решения задач на ЭВМ с параллельной организацией вычислений. "Кибернетика", 1981, N 4.
23. Глушков В.М., Молчанов И.Н., Мясников В.А., Погребинский С.Б., Капитонова Ю.В. и др. Многопроцессорный вычислительный комплекс для многоконвейерный обработки данных. Препринт 82-37. ИК АН УССР, Киев, 1982.
24. Глушков В.М., Молчанов И.Н., Капитонова Ю.В., Летичевский А.А. и др. Входной язык программирования макроконвейерного вычислительного комплекса. Препринт 82-37. ИК АН УССР, Киев, 1982.
25. Глушков В.М., Молчанов И.Н. Макроконвейерный способ организации вычислений. В кн. " Актуальные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1984, с. 49-67.
26. Михалевич В.С., Молчанов И.Н. и др. Численные методы для многопроцессорного вычислительного комплекса ЕС: Научно-методические материалы. Издание ВВИА им. Н.Е.Жуковского, Москва, 1986, С. 401.

Наверх